Задание 22 — №314804

Шаг 1: Запишем исходную функцию $y=\frac{1-2x}{2x^2-x}$. Заметим, что знаменатель можно представить в виде $2x^2-x=x(2x-1)$, поэтому функция примет вид $y=\frac{1-2x}{x(2x-1)}$.

Шаг 2: Обратим внимание, что в числителе $1-2x$ равно $-(2x-1)$. Подставляем это в функцию: $y=\frac{-(2x-1)}{x(2x-1)}$, при условии, что $2x-1\neq0$, то есть $x\neq\frac{1}{2}$.

Шаг 3: Сократим общий множитель $(2x-1)$ в числителе и знаменателе. Получим упрощённое выражение $y=-\frac{1}{x}$. При этом точка, в которой $2x-1=0$, то есть $x=\frac{1}{2}$, исключается. Если подставить $x=\frac{1}{2}$, то $y=-\frac{1}{\frac{1}{2}}=-2$, поэтому выколота точка имеет координаты $\left(\frac{1}{2};-2\right)$.

Шаг 4: Найдём точки пересечения графика функции с прямой $y=kx$. Приравняем: $kx=-\frac{1}{x}$, при условии, что $x\neq0$.

Шаг 5: Умножим уравнение $kx=-\frac{1}{x}$ на $x$ (так как $x\neq0$): получим $kx^2=-1$, то есть $kx^2+1=0$. Обычно это уравнение имеет два решения для $x$.

Шаг 6: Чтобы прямая $y=kx$ имела ровно одну общую точку с графиком функции, одна из точек пересечения должна совпадать с выколотой точкой $\left(\frac{1}{2};-2\right)$. Подставляем $x=\frac{1}{2}$ в уравнение $kx^2=-1$: получаем $k\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2=-1$, то есть $k\cdot\frac{1}{4}=-1$. Решая это уравнение (делим обе части на $\frac{1}{4}$), находим $k=-4$.