Задание 22 — №153

Шаг 1. Записываем исходную функцию: $y=\frac{2x+1}{2x^2+x}$. Заметим, что знаменатель можно представить в виде $2x^2+x=x(2x+1)$.

Шаг 2. При условии, что $2x+1\neq 0$ (то есть $x\neq -\frac{1}{2}$), сокращаем общий множитель $2x+1$. Получаем: $$y=\frac{2x+1}{x(2x+1)}=\frac{1}{x}.$$

Шаг 3. Определяем выколотую точку. При $x=-\frac{1}{2}$ выражение $2x+1$ равно нулю, поэтому функция не определена в этой точке. Подставляем $x=-\frac{1}{2}$ в упрощённое уравнение $y=\frac{1}{x}$ и получаем: $$y=\frac{1}{-\frac{1}{2}}=-2.$$ Таким образом, выколотая точка имеет координаты $\left(-\frac{1}{2};-2\right)$.

Шаг 4. Чтобы прямая $y=kx$ имела с графиком ровно одну общую точку, она должна проходить через выколотую точку. Подставляем координаты выколотой точки в уравнение прямой: $$-2=k\cdot\left(-\frac{1}{2}\right).$$ Решая это равенство, умножаем обе части на $2$: $$-4=-k,$$ откуда находим $k=4$.