Задание 20 — №338633

Рассмотрим первое неравенство: $\frac{10 - 2x}{3 + (5 - 2x)^2} \geq 0$. Заметим, что числитель $10 - 2x$ можно представить в виде $2(5 - x)$, а знаменатель преобразуем: $$3 + (5 - 2x)^2 = 3 + (25 - 20x + 4x^2) = 4x^2 - 20x + 28$$.

Разделим числитель и знаменатель на $2$ (так как $2>0$): получаем $$\frac{2(5 - x)}{4x^2 - 20x + 28} = \frac{5 - x}{2x^2 - 10x + 14}$$. Вычислим дискриминант знаменателя: $$\Delta = (-10)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 14 = 100 - 112 = -12$$, что означает, что многочлен $2x^2 - 10x + 14$ всегда положителен.

Поскольку знаменатель всегда положителен, знак дроби определяется знаком числителя. Поэтому неравенство $\frac{5 - x}{2x^2 - 10x + 14} \geq 0$ эквивалентно неравенству $5 - x \geq 0$, откуда получаем $x \leq 5$.

Рассмотрим второе неравенство: $2 - 7x \leq 14 - 3x$. Переносим слагаемые: прибавим $7x$ к обеим частям, получим $2 \leq 14 + 4x$. Вычитая $14$, получаем $-12 \leq 4x$, а деля на $4$, находим $-3 \leq x$, что означает $x \geq -3$.

Пересекём решения двух неравенств: из первого – $x \leq 5$, из второго – $x \geq -3$. Следовательно, решением системы является отрезок $[-3;5]$.