Mekhmatik
4

Задание 4 — №441412

Прикладная геометрия: расстояния

ПутешествияФИПИ: 7.7 Решение практических задач по геометрии

Условие

Юля летом от­ды­ха­ет у де­душ­ки и ба­буш­ки в де­рев­не Ца­ре­во. Юля с де­душ­кой со­би­ра­ют­ся съез­дить на ма­ши­не на же­лез­но­до­рож­ную стан­цию Та­и­ров­ку. Из Ца­ре­во в Та­и­ров­ку можно про­ехать по шоссе до де­рев­ни Ключи, где нужно свер­нуть под пря­мым углом на­ле­во на дру­гое шоссе, ве­ду­щее в Та­и­ров­ку через по­се­лок Де­ми­до­во. Из Ца­ре­во в Та­и­ров­ку можно про­ехать через по­се­лок Де­ми­до­во и не за­ез­жая в Ключи, но тогда первую часть пути надо будет ехать по пря­мой лес­ной до­ро­ге. Есть и тре­тий марш­рут: до­е­хать по пря­мой грун­то­вой до­ро­ге мимо озера до села Фе­дя­е­во и там, по­вер­нув на­пра­во, по шоссе до­брать­ся до Та­и­ров­ки.

По шоссе Юля с де­душ­кой едут со ско­ро­стью 60 км/ч, а по лес­ной и грун­то­вой до­ро­гам  — 45 км/ч. Рас­сто­я­ние по шоссе от Ца­ре­во до Клю­чей равно 72 км, от Та­и­ров­ки до Клю­чей  — 60 км, от Та­и­ров­ки до Де­ми­до­во  — 30 км, а от Та­и­ров­ки до Фе­дя­е­во  — 27 км.

Опре­де­ли­те, на какой марш­рут до стан­ции по­тре­бу­ет­ся мень­ше всего вре­ме­ни. В от­ве­те ука­жи­те, сколь­ко минут по­тра­тят на до­ро­гу Юля с де­душ­кой, если по­едут этим марш­ру­том.

Юля летом отдыхает у дедушки и бабушки в деревне Царево. Юля с дедушкой собираются съездить на машине на железнодорожную станцию Таировку. Из Царево в Таировку можно проехать по шоссе до деревни Ключи, где нужно свернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Таировку через поселок Демидово. Из Царево в Таировку можно проехать через поселок Демидово и не заезжая в Ключи, но тогда первую часть пути надо будет ехать по прямой лесной дороге. Есть и третий маршрут: доехать по прямой грунтовой дороге мимо озера до села Федяево и там, повернув направо, по шоссе добраться до Таировки.По шоссе Юля с дедушкой едут со скоростью 60 км/ч, а по лесной и грунтовой дорогам — 45 км/ч. Расстояние по шоссе от Царево до Ключей равно 72 км, от Таировки до Ключей — 60 км, от Таировки до Демидово — 30 км, а от Таировки до Федяево — 27 км. Определите, на какой маршрут до станции потребуется меньше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Юля с дедушкой, если поедут этим маршрутом.

Решение

  1. 1
    Первый маршрут — по шоссе через деревню Ключи. Сначала найдем общее расстояние: от Царево до Ключей $72$ км и от Ключей до Таировки $60$ км. Тогда общее расстояние равно $72 + 60 = 132$ км.
  2. 2
    Теперь найдем время в пути по первому маршруту. Скорость по шоссе $60$ км/ч, тогда время $t_1 = \frac{132}{60} = 2.2$ часа, что равно $2.2 \cdot 60 = 132$ минутам.
  3. 3
    Второй маршрут — через поселок Демидово по лесной дороге. Сначала найдем расстояние от Царево до Демидово. По теореме Пифагора: один катет $30$ км (разница между $60$ км и $30$ км), другой катет $72$ км, тогда гипотенуза $d = \sqrt{30^2 + 72^2} = \sqrt{900 + 5184} = \sqrt{6084} = 78$ км.
  4. 4
    Теперь найдем время в пути по второму маршруту: по лесной дороге скорость $45$ км/ч, тогда время $t_2 = \frac{78}{45} + \frac{30}{60} = 1.733 + 0.5 = 2.233$ часа, что равно $2.233 \cdot 60 = 134$ минутам.
  5. 5
    Третий маршрут — через село Федяево по грунтовой дороге. Найдем расстояние от Царево до Федяево. По теореме Пифагора: один катет $45$ км (разница между $72$ км и $27$ км), другой катет $60$ км, тогда гипотенуза $d = \sqrt{45^2 + 60^2} = \sqrt{2025 + 3600} = \sqrt{5625} = 75$ км.
  6. 6
    Теперь найдем время в пути по третьему маршруту: по грунтовой дороге скорость $45$ км/ч, тогда время $t_3 = \frac{75}{45} + \frac{27}{60} = 1.667 + 0.45 = 2.117$ часа, что равно $2.117 \cdot 60 = 127$ минутам.

Ответ: 127