Задание 4 — №441412
Прикладная геометрия: расстояния
Условие
Юля летом отдыхает у дедушки и бабушки в деревне Царево. Юля с дедушкой собираются съездить на машине на железнодорожную станцию Таировку. Из Царево в Таировку можно проехать по шоссе до деревни Ключи, где нужно свернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Таировку через поселок Демидово. Из Царево в Таировку можно проехать через поселок Демидово и не заезжая в Ключи, но тогда первую часть пути надо будет ехать по прямой лесной дороге. Есть и третий маршрут: доехать по прямой грунтовой дороге мимо озера до села Федяево и там, повернув направо, по шоссе добраться до Таировки.
По шоссе Юля с дедушкой едут со скоростью 60 км/ч, а по лесной и грунтовой дорогам — 45 км/ч. Расстояние по шоссе от Царево до Ключей равно 72 км, от Таировки до Ключей — 60 км, от Таировки до Демидово — 30 км, а от Таировки до Федяево — 27 км.
Определите, на какой маршрут до станции потребуется меньше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Юля с дедушкой, если поедут этим маршрутом.
Юля летом отдыхает у дедушки и бабушки в деревне Царево. Юля с дедушкой собираются съездить на машине на железнодорожную станцию Таировку. Из Царево в Таировку можно проехать по шоссе до деревни Ключи, где нужно свернуть под прямым углом налево на другое шоссе, ведущее в Таировку через поселок Демидово. Из Царево в Таировку можно проехать через поселок Демидово и не заезжая в Ключи, но тогда первую часть пути надо будет ехать по прямой лесной дороге. Есть и третий маршрут: доехать по прямой грунтовой дороге мимо озера до села Федяево и там, повернув направо, по шоссе добраться до Таировки.По шоссе Юля с дедушкой едут со скоростью 60 км/ч, а по лесной и грунтовой дорогам — 45 км/ч. Расстояние по шоссе от Царево до Ключей равно 72 км, от Таировки до Ключей — 60 км, от Таировки до Демидово — 30 км, а от Таировки до Федяево — 27 км. Определите, на какой маршрут до станции потребуется меньше всего времени. В ответе укажите, сколько минут потратят на дорогу Юля с дедушкой, если поедут этим маршрутом.
Решение
- 1Первый маршрут — по шоссе через деревню Ключи. Сначала найдем общее расстояние: от Царево до Ключей $72$ км и от Ключей до Таировки $60$ км. Тогда общее расстояние равно $72 + 60 = 132$ км.
- 2Теперь найдем время в пути по первому маршруту. Скорость по шоссе $60$ км/ч, тогда время $t_1 = \frac{132}{60} = 2.2$ часа, что равно $2.2 \cdot 60 = 132$ минутам.
- 3Второй маршрут — через поселок Демидово по лесной дороге. Сначала найдем расстояние от Царево до Демидово. По теореме Пифагора: один катет $30$ км (разница между $60$ км и $30$ км), другой катет $72$ км, тогда гипотенуза $d = \sqrt{30^2 + 72^2} = \sqrt{900 + 5184} = \sqrt{6084} = 78$ км.
- 4Теперь найдем время в пути по второму маршруту: по лесной дороге скорость $45$ км/ч, тогда время $t_2 = \frac{78}{45} + \frac{30}{60} = 1.733 + 0.5 = 2.233$ часа, что равно $2.233 \cdot 60 = 134$ минутам.
- 5Третий маршрут — через село Федяево по грунтовой дороге. Найдем расстояние от Царево до Федяево. По теореме Пифагора: один катет $45$ км (разница между $72$ км и $27$ км), другой катет $60$ км, тогда гипотенуза $d = \sqrt{45^2 + 60^2} = \sqrt{2025 + 3600} = \sqrt{5625} = 75$ км.
- 6Теперь найдем время в пути по третьему маршруту: по грунтовой дороге скорость $45$ км/ч, тогда время $t_3 = \frac{75}{45} + \frac{27}{60} = 1.667 + 0.45 = 2.117$ часа, что равно $2.117 \cdot 60 = 127$ минутам.
Ответ: 127